$A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ ($n\geq 2$) を集合とするとき, $$ \bigcap_{1\leq i<j\leq n}(A_i\cup A_j) = \bigcup_{1\leq i\leq n}(A_1\cap\cdots\cap A_{i-1}\cap A_{i+1}\cap\cdots\cap A_n) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$n$ に関する数学的帰納法により証明する.
$n=2$ のとき, 自明な等式 $A_1\cup A_2=A_1\cup A_2$ が成り立つ.
一般の $n$ について証明するために, $n-1$ のとき等式が成り立つと仮定する. 分配法則を用いて計算すると, \begin{align*} \bigcap_{1\leq i<j\leq n}(A_i\cup A_j) &= \left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}(A_i\cup A_j) \right) \cap\left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}(A_i\cup A_n) \right) \\ &= \left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}(A_i\cup A_j) \right) \cap\left(\left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}A_i \right)\cup A_n\right) \\ &= \left(\left (\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}(A_i\cup A_j) \right) \cap \left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}A_i \right) \right) \\ &\qquad\qquad\cap\left(\left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}(A_i\cup A_j) \right)\cap A_n\right) \\ &= \left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}A_i \right) \\ &\qquad\qquad\cup\left(\left( \bigcup_{1\leq i\leq n-1} (A_1\cap\cdots\cap A_{i-1}\cap A_{i+1}\cap\cdots\cap A_{n-1}) \right)\cap A_n\right) \\ &= \left(\bigcap_{1\leq i<j\leq n-1}A_i \right) \\ &\qquad\qquad\cup\left( \bigcup_{1\leq i\leq n-1} (A_1\cap\cdots\cap A_{i-1}\cap A_{i+1}\cap\cdots\cap A_{n-1}\cap A_n) \right) \\ &= \bigcup_{1\leq i\leq n}(A_1\cap\cdots\cap A_{i-1}\cap A_{i+1}\cap\cdots\cap A_n). \end{align*} ゆえに, $n$ のときも等式が成り立つ.
以上より, すべての $n\geq 2$ に対して等式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日