$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subseteq A_{\lambda} $$ であるから, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B \subseteq A_{\lambda}\cup B. $$ したがって, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B \subseteq \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B). $$
逆に, $\displaystyle x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B)$ とすると, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $x\in A_{\lambda}\cup B$ である. もし $x\not\in B$ ならば, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $x\in A_{\lambda}$ となる. ゆえに, $\displaystyle x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ または $x\in B$. すなわち, $\displaystyle x\in \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B$. よって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日