解答例 1

$n$ に関する数学的帰納法により証明する.

$n=2$ のとき, $$ \det\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2\end{bmatrix} = x_2-x_1. $$

$n-1$ のとき ($*$) が成り立つと仮定する. 与えられた行列式に, 第 $n$ 行 $-$ 第 $n-1$ 行 $\times$ $x_1$, 第 $n-1$ 行 $-$ 第 $n-2$ 行 $\times$ $x_1$, $\ldots$, 第 $2$ 行 $-$ 第 $1$ 行 $\times$ $x_1$, という操作を順に行うと, \begin{align*} (\mbox{与式}) &= \det\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{bmatrix} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1) \\ &\qquad \times \det\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \end{bmatrix} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{2\leq i<j\leq n}(x_j-x_i) \\ &= \prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i). \end{align*} よって, $n$ のときも ($*$) は成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日