解答例 1

$\zeta$ を $1$ の $n$ 乗根とし, $f_{\zeta} = x_1+\zeta x_2+\cdots+\zeta^{n-1}x_n$ とおく. $\zeta^n=1$ より, \begin{align*} &\zeta f_{\zeta} = x_n + \zeta x_1+\cdots+\zeta_{n-2}x_{n-2} + \zeta^{n-1}x_{n-1}, \\ &\zeta^2 f_{\zeta} = x_{n-1} + \zeta x_n + \zeta^2 x_1 + \cdots + \zeta^{n-1}x_{n-2}, \\ &\qquad\cdots\cdots \\ &\zeta^{n-1} f_{\zeta} = x_2 + \zeta x_3 + \cdots + \zeta^{n-2} x_n + \zeta^{n-1} x_1. \\ \end{align*} $j=2$, $3$, $\ldots$, $n$ について, 第 $1$ 列 + 第 $j$ 列 $\times$ $\zeta^{j-1}$ という操作を行うと, \begin{align*} (\mbox{与式}) &= \det\begin{bmatrix} f_{\zeta} & x_2 & \cdots & \cdots & x_n \\ \zeta f_{\zeta} & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \zeta^2 f_{\zeta} & x_n & x_1 & \cdots & x_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \zeta^{n-1} f_{\zeta} & x_3 & \cdots & x_n & x_1 \end{bmatrix} \\ &= f_\zeta\det\begin{bmatrix} 1 & x_2 & \cdots & \cdots & x_n \\ \zeta & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \zeta^2 & x_n & x_1 & \cdots & x_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \zeta^{n-1} & x_3 & \cdots & x_n & x_1 \end{bmatrix} \end{align*} となる. したがって, $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ において, $f_\zeta$ は ($*$) の左辺の行列式を割る.

$\zeta$, $\zeta'$ を $1$ の $n$ 乗根とし, $\zeta\neq\zeta'$ であるとすると, $f_{\zeta}$ と $f_{\zeta'}$ とは $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ において互いに素である. よって, ($*$) の右辺は左辺を割る. 1 の $n$ 乗根は全部で $n$ 個あるから, 次数を比較すると, ある定数 $k\in\mathbb{C}$ が存在して, $$ (\mbox{与式}) = k\prod_{\zeta}(x_1+\zeta x_2+\cdots+\zeta^{n-1}x_n). $$ 両辺の係数 (例えば, $x_1^n$ の係数) を比較すれば, $k=1$ がわかる.

最終更新日：2011年11月02日