$A$, $B$ を $n$ 次実正方行列とするとき, $$ \det\begin{bmatrix} A & -B \\ B & A\end{bmatrix} = \left\lvert \det(A+\sqrt{-1}B)\right\rvert^2 $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
複素共役について, $$ \det(A-\sqrt{-1}B) = \det\left(\,\overline{A+\sqrt{-1}B}\,\right) = \overline{\det(A+\sqrt{-1}B)} $$ が成り立つ. よって, \begin{alignat*}{2} \det\begin{bmatrix} A & -B \\ B & A\end{bmatrix} &= \det\begin{bmatrix} A+\sqrt{-1}B & -B+\sqrt{-1}A \\ B & A\end{bmatrix} &\quad& (\mbox{第 $i$ 行 $+$ 第 $n+i$ 行 $\times$ $\sqrt{-1}$}) \\ &= \det\begin{bmatrix} A+\sqrt{-1}B & O \\ B & A-\sqrt{-1}B \end{bmatrix} &\quad& (\mbox{第 $n+j$ 列 $-$ 第 $j$ 列 $\times$ $\sqrt{-1}$}) \\ &= \det(A+\sqrt{-1}B)\det(A-\sqrt{-1}B) \\ &= \det(A+\sqrt{-1}B)\overline{\det(A+\sqrt{-1}B)} \\ &= \left\lvert \det(A+\sqrt{-1}B)\right\rvert^2. \end{alignat*}
最終更新日：2011年11月02日