\begin{equation} \det\begin{bmatrix} a_0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & x & -1 & \ddots & \vdots \\ a_2 & 0 & x & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ a_n & 0 & \cdots & 0 & x \end{bmatrix} = a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n \tag{$*$} \end{equation} を証明せよ.
解答例 1
$n$ に関する数学的帰納法により証明する.
$n=0$ のときは明らかである.
$n=1$ のとき, $$ \det\begin{bmatrix} a_0 & -1 \\ a_1 & x\end{bmatrix} = a_0x+a_1. $$
$n-1$ まで成り立つと仮定する. 与えられた行列式に, 第 $1$ 行に関する余因子展開を行うと, \begin{align*} (\mbox{与式}) &= a_0\det\begin{bmatrix} x & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x & -1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x \end{bmatrix} \\ &\qquad -(-1)\det\begin{bmatrix} a_1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_2 & x & -1 & \ddots & \vdots \\ a_3 & 0 & x & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ a_n & 0 & \cdots & 0 & x \end{bmatrix} \\ &= a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n. \end{align*} よって, $n$ のときも ($*$) が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日