解答例 1

$i$ を虚数単位とする. $\sigma=\mathop{\mathrm{Re}}{s}$, $t = \mathop{\mathrm{Im}}{s}$ とおく. また, $$ a_n = \left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1} - 1\quad (n=1, 2, \ldots) $$ とおく.

各番号 $n$ に対して, \begin{align} \lvert a_{n}\rvert &= \left\lvert\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)^{-1} - 1\right\rvert = \left\lvert \frac{p^{s}}{p^{s}-1} - 1\right\rvert \notag \\ &= \frac{1}{\lvert p_{n}^{s}-1\rvert} \leq \frac{1}{\lvert p_{n}^{s}\rvert - 1}. \tag{1} \end{align} また, $p_n$ が正の実数であることより, \begin{align*} \lvert p_{n}^{s}\rvert &= \lvert\exp(s\log{p_n})\rvert \\ &= \bigl\lvert\exp\bigl((\sigma+it)\log{p_n}\bigr)\bigr\rvert \\ &= \lvert\exp(\sigma\log{p_n} + it\log{p_n})\rvert \\ &= \lvert\exp(\sigma\log{p_n})\rvert = \lvert p_{n}^{\sigma}\rvert = p_{n}^{\sigma} \end{align*} であるから, \begin{equation} \frac{1}{\lvert p_{n}^{s}\rvert - 1} = \frac{1}{p_{n}^{\sigma} - 1}. \tag{2} \end{equation} さらに, $p_n\geq 2$ より, \begin{equation} \begin{split} \sigma>1 & \Longrightarrow p_{n}^{\sigma}\geq 2 \Longrightarrow p_{n}^{\sigma}\leq 2(p_{n}^{\sigma} - 1) \notag \\ & \Longrightarrow \frac{1}{p_{n}^{\sigma} - 1} \leq \frac{2}{p_{n}^{\sigma}}. \end{split} \tag{3} \end{equation} (1), (2), (3) より, \begin{equation} \sigma>1 \Longrightarrow \lvert a_{n}\rvert\leq\frac{2}{p_{n}^{\sigma}}. \tag{4} \end{equation} 一方, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{p_{n}^{\sigma}}$ は $\sigma>1$ のとき収束する. なぜなら, $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{p_{k}^{\sigma}} \leq \sum_{k=1}^{p_n}\frac{1}{k^{\sigma}} \quad (n=1, 2, \ldots) $$ であり, 正項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sigma}}$ は $\sigma>1$ のとき収束するから, 正項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}^{\sigma}}$ も $\sigma>1$ のとき収束する. ゆえに, (4) より, 級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ は $\sigma>1$ のとき絶対収束する. したがって, 無限積 $$ \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) = \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1} $$ は $\sigma>1$ のとき絶対収束する.

最終更新日：2011年11月02日