解答例 1

円周 $C$ の半径を $r$ とすると, $C$ は $$ z = a+re^{i\theta},\quad 0\leq\theta\leq 2\pi. $$ とパラメータ表示される. $\theta$ は $0$ から $2\pi$ へ向かうものとする. このとき, $$ dz = ire^{i\theta}d\theta $$ であるから, \begin{align*} \int_{C}\frac{1}{(z-\alpha)^n}\,dz &= \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{r^ne^{ni\theta}}\cdot ire^{i\theta}\,d\theta = \frac{i}{r^{n-1}}\int_{0}^{2\pi}e^{-(n-1)i\theta}\,d\theta \\ &= \frac{i}{r^{n-1}}\int_{0}^{2\pi}\Bigl( \cos\bigl((n-1)\theta\bigr) - i\sin\bigl((n-1)\theta\bigr) \Bigr)\,d\theta \\ &= \frac{i}{r^{n-1}}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\bigl((n-1)\theta\bigr)\,d\theta - i\int_{0}^{2\pi}\sin\bigl((n-1)\theta\bigr)\,d\theta \right). \end{align*} $n=1$ のとき, $$ \int_{C}\frac{1}{z-\alpha}\,dz = i\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi i. $$ $n>1$ のとき, $$ \int_{C}\frac{1}{(z-\alpha)^n}\,dz = \frac{i}{r^{n-1}}\left(\Biggl[\frac{\sin\bigl((n-1)\theta\bigr)}{n-1}\Biggr]_{0}^{2\pi} + i\Biggl[\frac{\cos\bigl((n-1)\theta\bigr)}{n-1}\Biggr]_{0}^{2\pi} \right) = 0. $$

最終更新日：2011年11月02日