$A=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ とするとき, すべての自然数 $n$ に対して \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a^n & na^{n-1}b \\ 0 & a^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$n$ に関する数学的帰納法により証明する.
$n=1$ のとき, $a^1=a$, $1\cdot a^{0}b=b$ となるから, ($*$) は成り立つ.
一般に, $n=k$ のとき ($*$) が成り立つと仮定すると, \begin{equation*} \begin{split} A^{k+1} &=A^kA \\ &=\begin{pmatrix} a^k & ka^{k-1}b \\ 0 & a^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a^{k+1} & (k+1)a^{k}b \\ 0 & a^{k+1} \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} したがって, $n=k+1$ のときも ($*$) が成り立つ.
以上より, すべての自然数 $n$ に対して ($*$) は成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日