$C^1$ 級関数 $f(x, y)$ によって定まる曲線 $$ C: f(x, y) = 0 $$ 上の点 $(a, b)$ における $C$ の接線は, 方程式 \begin{equation} f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) = 0 \tag{$*$} \end{equation} で表せることを証明せよ. ただし, \begin{equation} f_x(a, b)^2 + f_y(a, b)^2 \neq 0 \tag{$*$$*$} \end{equation} とする.
解答例 1
条件 ($*$$*$) より, $f_x(a, b)$, $f_y(a, b)$ のうちのどちらか一方は $0$ でない. $f_x(a, b)\neq 0$ のときも同様なので, $f_y(a, b)\neq 0$ のときのみ示す.
陰関数定理より, $f(x, y)=0$ は点 $(a, b)$ の近傍で, ある $C^1$ 級関数 $y=\varphi(x)$ によって表され, $$ \varphi'(a) = -\frac{f_x(a, b)}{f_y(a, b)} $$ が成り立つ. これを接線の方程式 $$ y-b = \varphi'(a)(x-a) $$ に代入して整理すると, ($*$) が得られる.
最終更新日：2011年11月02日