$C^1$ 級関数 $f(x, y, z)$ によって定まる曲面 $$ S: f(x, y, z) = 0 $$ 上の点 $(a, b, c)$ における $S$ の接平面は, 方程式 \begin{equation} f_x(a, b, c)(x-a) + f_y(a, b, c)(y-b) + f_z(a, b, c)(z-c) = 0 \tag{$*$} \end{equation} で表せることを証明せよ. ただし, \begin{equation} f_x(a, b, c)^2 + f_y(a, b, c)^2 + f_z(a, b, c)^2 \neq 0 \tag{$*$$*$} \end{equation} とする.
解答例 1
条件 ($*$$*$) より, $f_x(a, b, c)$, $f_y(a, b, c)$, $f_z(a, b, c)$ のうちの少なくとも $1$ つは $0$ でない. 他の場合も同様なので, $f_z(a, b, c)\neq 0$ のときのみ示す.
陰関数定理より, $f(x, y, z)=0$ は点 $(a, b, c)$ の近傍で, ある $C^1$ 級関数 $z=\varphi(x, y)$ によって表され, $$ \varphi_x(a, b) = -\frac{f_x(a, b, c)}{f_z(a, b, c)},\quad \varphi_y(a, b) = -\frac{f_y(a, b, c)}{f_z(a, b, c)} $$ が成り立つ. これらを $(a, b, c)$ での接平面の方程式 $$ z-c = \varphi_x(a, b)(x-a) + \varphi_y(a, b)(y-b) $$ に代入して整理すると, ($*$) が得られる.
最終更新日：2011年11月02日