解答例 1

$f(x, y) = x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1$ とおく. 点 $(x_1, y_1)$ は楕円上の点だから, \begin{equation} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1. \tag{1} \end{equation} また, \begin{align*} f_x(x, y) &= \frac{2x}{a^2},\quad f_x(x_1, y_1) = \frac{2x_1}{a^2}, \tag{2} \\ f_y(x, y) &= \frac{2y}{b^2},\quad f_y(x_1, y_1) = \frac{2y_1}{b^2}. \tag{3} \end{align*} 原点 $(0, 0)$ は楕円上の点ではないから, $(x_1, y_1)\neq (0, 0)$. したがって, $$ f_x(x_1, y_1)\neq 0\quad\mbox{または}\quad f_y(x_1, y_1)\neq 0. $$ ゆえに, $(x_1, y_1)$ における接線は, 方程式 $$ f_x(x_1, y_1)(x-x_1) + f_y(x_1, y_1)(y-y_1) = 0 $$ で表せる. (2), (3) を代入し, 両辺を $2$ で割ると, $$ \frac{x_1}{a^2}(x-x_1) + \frac{y_1}{b^2}(y-y_1) = 0. $$ 式を展開すると, $$ \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} - \left(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2}\right) = 0. $$ (1) より, 求める方程式が得られる.

最終更新日：2011年11月02日