解答例 1

三角関数の加法公式より, $$ \sin{mx}\sin{nx} = \frac{1}{2}\bigl( \cos{(m-n)x} - \cos{(m+n)x} \bigr). $$ $m\neq n$ のとき, \begin{align*} &\int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\sin{nx}\,dx \\ &\qquad = \frac{1}{2}\left(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{(m-n)x}\,dx - \int_{-\pi}^{\pi}\cos{(m+n)x}\,dx\right) \\ &\qquad = \frac{1}{2}\left( \Biggl[ \frac{\sin{(m-n)x}}{m-n} \Biggr]_{-\pi}^{\pi} - \Biggl[ \frac{\sin{(m+n)x}}{m+n} \Biggr]_{-\pi}^{\pi}\right) \\ &\qquad = 0. \end{align*} $m=n$ のとき, \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{mx}\,dx &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos{2mx}}{2}\,dx \\ &= \frac{1}{2}\left( \int_{-\pi}^{\pi}dx - \Biggl[ \frac{\sin{2mx}}{2m} \Biggr]_{-\pi}^{\pi}\right) \\ &= \pi. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日