整数 $n\geq 0$ に対し, $$ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx \,dx $$ とおく. ただし, $\sin^0x=1$ とする. このとき, \begin{equation} I_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6} \cdot\cdots\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{\pi}{2}, & \mbox{$n$が偶数のとき} \\ \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7} \cdot\cdots\cdot\frac{n-1}{n}, &\mbox{$n$が奇数のとき} \end{cases} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
まず, \begin{align*} I_0&= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\,dx = \frac{\pi}{2}, \\ I_1&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = \bigl[ -\cos x \bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1. \end{align*} $n\geq 2$ のとき, \begin{align*} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}\sin x\,dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1} x(-\cos x)'\,dx \\ &= \bigl[ -\sin^{n-1} x\cos x \bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} -\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^{n-1}x)'(-\cos x)\,dx \\ &= 0+\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^{n-1}x)'\cos x\,dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigl((n-1)\sin^{n-2}x\cos x\bigr)\cos x\,dx \\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dx \\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\,dx \\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^{n-2}x-\sin^n x)\,dx \\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx \\ &= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n. \end{align*} よって, $$ nI_n=(n-1)I_{n-2}. $$ ゆえに, $$ I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}. $$ これを繰り返し用いて計算すれば, ($*$) が得られる.
最終更新日：2011年11月02日