解答例 1

定積分の加法性により, \begin{equation} \int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\sin x)\,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}xf(\sin x)\,dx. \tag{1} \end{equation} また, $x=\pi-t$ とおくと, $dx = -dt$ であり, $x$ が $\pi/2$ から $\pi$ までを動くとき, $t$ は $\pi/2$ から $0$ までを動くから, \begin{align*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}xf(\sin x)\,dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}(\pi-t)f\bigl(\sin(\pi-t)\bigr)\cdot(-1)\,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi-t)f(\sin t)\,dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi-x)f(\sin x)\,dx \\ &= \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\sin x)\,dx. \end{align*} これを (1) に代入すれば, 求める等式が得られる.

最終更新日：2011年11月02日