解答例 1

$f(x)$ が $[a, \infty)$ 上の定数関数のときは明らかである.

$f(x)$ が $[a, \infty)$ 上の定数関数ではないとき, ある $p\in (a, \infty)$ が存在して, $f(a)\neq f(p)$ となる. $f(a)<f(p)$ と仮定しても一般性を失わない. そのとき, ある実数 $\eta$ が存在して, $$ f(a)<\eta<f(p) $$ となる (例えば, $\eta=(f(a)+f(p))/2$ とすればよい). 中間値の定理より, ある実数 $r$ が存在して, \begin{equation} f(b) = \eta,\quad a<r<p. \tag{1} \end{equation}

一方, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=f(a)$ だから, ある実数 $M>0$ が存在して, $x>M$ を満たす任意の実数 $x$ に対して, $$ f(x) - f(a) \leq \lvert f(x) - f(a) \rvert < \eta - f(a). $$ したがって, $$ f(x)<\eta. $$ そこで, $q>\max\{M, p\}$ を満たす実数 $q$ を1つとると, $$ f(q)<\eta<f(p),\quad p < q. $$ 中間値の定理より, ある実数 $s$ が存在して, \begin{equation} f(s) = \eta,\quad p<s<q. \tag{2} \end{equation} (1), (2) より, $$ f(r)=f(s),\quad r < s. $$ Rolle の定理より, ある実数 $c$ が存在して, $$ f'(c)=0,\quad r < c < s $$ となる. $r$, $s$ の定め方から, $c\in (a, \infty)$ である.

最終更新日：2011年11月02日