解答例 1

(i)$\Rightarrow$(ii) $x=y$ のときは明らかである. $x\neq y$ のとき, $x<y$ としても一般性を失わない. 平均値の定理より, ある実数 $\xi$ が存在して, $$ \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f'(\xi),\quad x<\xi<y. $$ $\xi\in I$ であるから, 仮定より, $$ \left\lvert\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right\rvert = \lvert f'(\xi)\rvert\leq K. $$ よって, $$ \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq K\lvert x - y\rvert $$ となる.

(ii)$\Rightarrow$(i) 仮定より, 任意の $x$, $a\in I$ に対して, $x\neq a$ ならば $$ \left\lvert\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\rvert\leq K. $$ ゆえに, 任意の $a\in I$ に対して, 関数 $\lvert x\rvert$ の連続性により, $$ \lvert f'(a)\rvert = \left\lvert\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\rvert = \lim_{x\to a}\left\lvert\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\rvert\leq K. $$

最終更新日：2011年11月02日