$f(x)$ を区間 $I$ で微分可能な実数値関数とする. また, $A$ を実数とし, 任意の $x\in I$ に対して $f'(x) = A$ が成り立つとする. このとき, $f(x)$ は $I$ において定数であるか, または $x$ に関する $1$ 次多項式で表されることを証明せよ.
解答例 1
$x$, $x_0\in I$ とする. $x\neq x_0$ のとき, 平均値の定理 (閉区間 $[x, x_0]$ または $[x_0, x]$ に適用) と問題の仮定より, ある $\xi\in I$ が存在して, $$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi) = A. $$ ゆえに, \begin{equation} f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) = Ax + B. \tag{1} \end{equation} ただし, $B = f(x_0)-Ax_0$.
(1) の右辺は, $A=0$ のとき定数であり, $A\neq 0$ のとき $x$ に関する $1$ 次多項式である.
(1) は $x=x_0$ のときも成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日