解答例 1

まず, 単射であることを示す. $x$, $x_0\in\mathbb{R}$ とし, $g(x)=g(x_0)$ と仮定する. すなわち, $$ x+f(x) = x_0+f(x_0). $$ もし仮に $x\neq x_0$ とすると, $$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = -1. $$ よって, $$ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = -1 $$ となり, ($*$) に反する. ゆえに, $x=x_0$. したがって, $g(x)$ は単射である.

次に, 全射であることを示す. 任意の実数 $x\neq 0$ に対し, 平均値の定理 (閉区間 $[0, x]$ または $[x, 0]$ に適用) と ($*$) より, ある $\xi_x\in\mathbb{R}$ が存在して, $$ \left\lvert\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right\rvert = \lvert f'(\xi_x) \rvert \leq c. $$ よって, $$ -c \leq \frac{f(x)-f(0)}{x} \leq c. $$ これより, \begin{equation} (1-c)x+f(0) \leq g(x) \leq (1+c)x + f(0). \tag{1} \end{equation} (1) は $x=0$ のときも成り立つ.

($*$) より $0<c<1$ であるから, $0<1-c$ かつ $0<1+c$. よって, (1) の $1$ 番目の不等式より, \begin{equation} g(x) \geq (1-c)x + f(0) \to +\infty\quad (x\to+\infty). \tag{2} \end{equation} また, (1) の $2$ 番目の不等式より, \begin{equation} g(x) \leq (1+c)x + f(0) \to -\infty\quad (x\to-\infty). \tag{3} \end{equation} 任意の $y\in\mathbb{R}$ に対して, (2), (3) より, 十分大きな $x_1$ と十分小さな $x_2$ をとって, $$ g(x_2) < y < g(x_1), \quad x_2 < x_1 $$ とできる. $g(x)$ は $\mathbb{R}$ 全体で微分可能なので, $\mathbb{R}$ 全体で連続である. よって, 中間値の定理より, ある $x_0\in [x_2, x_1]$ が存在して, $g(x_0)=y$ となる. ゆえに, $g(x)$ は全射である.

最終更新日：2011年11月02日