解答例 1

$n=1$, $2$, $3$, $\ldots$ に対して, \begin{align*} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^{-(n+1)} &= \left( \frac{n}{n+1} \right)^{-(n+1)} \\ &= \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+1} \\ &= \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1}. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left( 1-\frac{1}{n} \right)^{-n} &= \lim_{n\to\infty}\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^{-(n+1)} \\ &= \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \\ &= \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right) \\ &= e\cdot 1 = e. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日