解答例 1

$(a_n)$ が $\alpha$ に収束すると仮定する. 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとると, ある番号 $N_1$ が存在して, $n>N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n - \alpha \rvert < \frac{\varepsilon}{2} $$ が成り立つ. $N_1$ を固定すると, $n>N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{align} & \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} - \alpha = \frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n} \notag \\ & \qquad = \frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\cdots+(a_{N_1}-\alpha)}{n} + \frac{(a_{{N_1}+1}-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n}. \tag{1} \end{align} 一方, \begin{align} \left\lvert \frac{(a_{N_1+1}-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n} \right\rvert & \leq \frac{\lvert a_{N_1+1}-\alpha\rvert+\cdots+\lvert a_n-\alpha\rvert}{n} \notag \\ & \leq \frac{n-N_1}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}. \tag{2} \end{align} また, $N_1$ は固定されているから, $$ \frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\cdots+(a_{N_1}-\alpha)}{n} \to 0\quad (n\to\infty). $$ すなわち, ある番号 $N_2$ が存在して, $n>N_2$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{equation} \left\lvert\frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\cdots+(a_{N_1}-\alpha)}{n}\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}. \tag{3} \end{equation} $N=\max\{N_1, N_2\}$ とおくと, (1), (2), (3) より, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{align*} &\left\lvert \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} - \alpha \right\rvert \\ &\qquad \leq \left\lvert\frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\cdots+(a_{N_1}-\alpha)}{n}\right\rvert + \left\lvert \frac{(a_{N_1+1}-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n} \right\rvert \\ &\qquad < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{align*} よって, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\alpha$ が示された.

最終更新日：2011年11月02日