解答例 1

整数 $n\geq 1$ に対して, 二項定理より, \begin{align} a_n &=\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)^k \notag \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)^k \notag \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\frac{n-i}{n} \notag \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{n}\biggr). \tag{1} \end{align} 整数 $k\geq 2$ に対して $$ \frac{1}{k!} = \prod_{i=1}^k\frac{1}{i}\leq \prod_{i=2}^k\frac{1}{2} =\frac{1}{2^{k-1}} $$ であるから, (1) より, 整数 $n\geq 1$ に対して, \begin{align*} a_n &\leq 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \leq 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \\ &=1+\frac{\displaystyle\biggl. 1-\frac{1}{2^n}}{\displaystyle\biggl. 1-\frac{1}{2}} =3-\frac{1}{2^{n-1}} < 3. \end{align*} よって, 数列 $(a_n)$ は上に有界である. また, $i=0$, $1$, $\ldots$, $n-1$ に対して $$ 1-\frac{i}{n}\leq 1-\frac{i}{n+1} $$ であるから, (1) より, 整数 $n\geq 1$ に対して, \begin{align*} a_n &\leq 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{n+1}\biggr) =1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\frac{n+1-i}{n+1} \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{(n+1)n(n-1)\cdots(n-k+2)}{k!}\biggl(\frac{1}{n+1}\biggr)^k \\ &= \sum_{k=0}^n{n+1 \choose k}\biggl(\frac{1}{n+1}\biggr)^k \\ &\leq \sum_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}\biggl(\frac{1}{n+1}\biggr)^k =\biggl(1+\frac{1}{n+1}\biggr)^n \\ &= a_{n+1}. \end{align*} よって, 数列 $(a_n)$ は単調増加である.

上に有界な単調増加数列は収束するから, $(a_n)$ は収束する.

最終更新日：2011年11月02日