解答例 1

任意の番号 $n\geq 0$ に対して, \begin{align*} \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert &\leq k \lvert x_{n}-x_{n-1}\rvert \\ &\leq k^2 \lvert x_{n-1}-x_{n-2}\rvert \\ &\leq \cdots \\ &\leq k^n\lvert x_{1}-x_{0}\rvert. \end{align*} したがって, 任意の番号 $m$, $n$ に対して, $n<m$ のとき, $0\leq k<1$ より, \begin{align*} \lvert x_{n}-x_{m}\rvert &\leq \lvert x_{n}-x_{n+1}\rvert + \lvert x_{n+1}-x_{n+2}\rvert + \cdots + \lvert x_{m-1}-x_{m}\rvert \\ &\leq (k^n + k^{n+1} + \cdots + k^{m-1}) \lvert x_0-x_1\rvert \\ &= k^n(1+k+\cdots+k^{m-1-n}) \lvert x_0-x_1\rvert \\ &= k^n\cdot\frac{1-k^{m-n}}{1-k}\cdot\lvert x_0-x_1\rvert \\ &\leq \frac{k^n}{1-k}\cdot\lvert x_0-x_1\rvert \to 0\quad (n\to\infty). \end{align*} ゆえに, $(x_n)$ は Cauchy 列になる. したがって, $(x_n)$ は収束する.

最終更新日：2011年11月02日