解答例 1

$(a_n)$ が $+\infty$ に発散すると仮定する. 実数 $R>0$ を任意にとると, ある番号 $N_1$ が存在して, $n>N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ a_n > 2R $$ が成り立つ. $N_1$ を固定すると, $n>N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{equation} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_{N_1}}{n} + \frac{a_{{N_1}+1}+\cdots+a_n}{n}. \tag{1} \end{equation} 一方, \begin{equation} \frac{a_{{N_1}+1}+\cdots+a_n}{n} > \frac{(n-N_1)\cdot 2R}{n} = \left(1-\frac{N_1}{n}\right)\cdot 2R. \tag{2} \end{equation} また, $N_1$ は固定されているから, $$ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_{N_1}}{n} \to 0\quad (n\to\infty). $$ すなわち, ある番号 $N_2$ が存在して, $n>N_2$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{equation} \left\lvert\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{N_1}}{n}\right\rvert < \frac{R}{2}. \tag{3} \end{equation} $N=\max\{4N_1, N_2\}$ とおくと, (1), (2), (3) より, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{align*} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} & > -\frac{R}{2} + \left(1-\frac{N_1}{n}\right)\cdot 2R \\ & > -\frac{R}{2} + \left(1-\frac{N_1}{4N_1}\right)\cdot 2R = R. \end{align*} よって, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=+\infty$ が示された.

最終更新日：2011年11月02日