解答例 1

$\displaystyle R=\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]$ とおく.

$p=l$ のとき, 任意の $a\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, $x\in M$ に対して, $\lvert M\rvert=p^s$ とおくと, $p^sM=0$ なので, \begin{align*} \frac{a}{p^n}\otimes x &= \frac{p^sa}{p^{n+s}}\otimes x = \frac{a}{p^{n+s}}\otimes p^sx \\ &= \frac{a}{p^{n+s}}\otimes 0 = 0. \end{align*} ゆえに, $R\otimes_{\mathbb{Z}}M = 0$.

$p\neq l$ のとき, 各 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $$ [p^n]:M\rightarrow M,\quad x\mapsto p^nx $$ は $\mathbb{Z}$ 加群の同型である. よって, 逆写像 $[p^n]^{-1}$ が存在する.

各 $a\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $$ \frac{a}{p^n}\cdot x = a\cdot [p^n]^{-1}(x) $$ によってスカラー倍を定義することにより, $M$ は $R$ 加群になる.

実際, まず, 任意の $a$, $a'\in\mathbb{Z}$, $n$, $n'\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, $x\in M$ に対して, $\displaystyle \frac{a}{p^n}=\frac{a'}{p^{n'}}$ のとき, $ap^{n'}-a'p^n=0$ であり, \begin{align*} p^{n+n'}\cdot \left( \frac{a}{p^n}\cdot x - \frac{a'}{p^{n'}}\cdot x \right) &= p^{n+n'}\cdot \left( a\cdot [p^n]^{-1}(x) - a'\cdot [p^{n'}]^{-1}(x) \right) \\ &= ap^{n'}p^n\cdot [p^n]^{-1}(x) - a'p^{n}p^{n'}\cdot [p^{n'}]^{-1}(x) \\ &= ap^{n'}x - a'p^{n}x = (ap^{n'} - a'p^{n})x = 0\cdot x = 0. \end{align*} $\lvert M\rvert$ は $p$ と互いに素なので, $M$ のすべての元に対して, その位数は $p$ と互いに素である. ゆえに, $\displaystyle \frac{a}{p^n}\cdot x - \frac{a'}{p^{n'}} x = 0$ でなければならない. よって, $\displaystyle \frac{a}{p^n}\cdot x = \frac{a'}{p^{n'}} x$. したがって, スカラー倍は well-defined である.

次に, 任意の $a$, $b\in\mathbb{Z}$, $n$, $m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, $x$, $y\in M$ に対して, $n\leq m$ のとき, \begin{align*} \left( \frac{a}{p^n} + \frac{b}{p^m} \right)\cdot x &= \frac{a+p^{m-n}b}{p^n}\cdot x = (a+p^{m-n}b)\cdot [p^n]^{-1}(x) \\ &= a\cdot [p^n]^{-1}(x) + p^{m-n}b\cdot [p^n]^{-1}(x) \\ &= \frac{a}{p^n}\cdot x + \frac{p^{m-n}b}{p^n}\cdot x \\ &= \frac{a}{p^n}\cdot x + \frac{b}{p^m}\cdot x. \end{align*} $m>n$ のときも同様である. また, $[p^{n+m}]^{-1} = ([p^m]\circ [p^n])^{-1} = [p^n]^{-1}\circ [p^m]^{-1}$ であるから, \begin{align*} \left( \frac{a}{p^n}\cdot\frac{b}{p^m} \right)\cdot x &= \frac{ab}{p^{n+m}}\cdot x = ab\cdot [p^{n+m}]^{-1}(x) \\ &= ab\cdot [p^n]^{-1}\left([p^m]^{-1}(x)\right) \\ &= a\cdot [p^n]^{-1}\left( b\cdot [p^m]^{-1}(x)\right) \\ &= \frac{a}{p^n}\cdot\left(\frac{b}{p^m}\cdot x\right). \end{align*} さらに, \begin{align*} \frac{a}{p^n}\cdot(x+y) &= a\cdot [p^n]^{-1}(x+y) \\ &= a\cdot\left([p^n]^{-1}(x)+[p^n]^{-1}(y)\right) \\ &= a\cdot[p^n]^{-1}(x) + a\cdot[p^n]^{-1}(y) \\ &= \frac{a}{p^n}\cdot x + \frac{a}{p^n}\cdot y. \end{align*} $[p^0]$ は恒等写像なので, $1_R$, $1_{\mathbb{Z}}$ をそれぞれ $R$, $\mathbb{Z}$ の単位元とすると, $$ 1_R\cdot x = \frac{1_R}{p^0}\cdot x = 1_{\mathbb{Z}}\cdot [p^0]^{-1}(x) = x. $$ したがって, $M$ は $R$ 加群をなす.

スカラー倍の写像 $$ R\times M\rightarrow M,\quad (r,x)\mapsto rx $$ は $\mathbb{Z}$ 上双線型なので, テンソル積の普遍性により, $\mathbb{Z}$ 準同型 $$ f:R\otimes_{\mathbb{Z}} M\rightarrow M,\quad r\otimes x\mapsto rx $$ が存在する.

一方, 写像 $$ g:M\rightarrow R\otimes_{\mathbb{Z}} M,\quad x\mapsto 1\otimes x $$ は $\mathbb{Z}$ 準同型であり, 任意の $x\in M$ に対して, $$ f\circ g(x) = f(1\otimes x) = 1\cdot x = x. $$ 逆に, 任意の $a\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, $x\in M$ に対して, \begin{align*} g\circ f\left( \frac{a}{p^n}\otimes x \right) &= g\left( \frac{a}{p^n}\cdot x \right) = 1\otimes \frac{a}{p^n}\cdot x \\ &= 1\otimes a\cdot [p^n]^{-1}(x) = a\otimes [p^n]^{-1}(x) \\ &= \frac{p^na}{p^n} \otimes [p^n]^{-1}(x) = \frac{a}{p^n} \otimes p^n\cdot [p^n]^{-1}(x) \\ &= \frac{a}{p^n} \otimes x. \end{align*} よって, $f\circ g$, $g\circ f$ はともに恒等写像である. ゆえに, $f$ は全単射である.

以上より, $f$ が $\mathbb{Z}$ 同型であることが示された.

最終更新日：2011年11月02日