解答例 1

$l\neq p$ のとき, $\lvert M\rvert = l^s$ とおくと, $l^sM=0$ だから, 任意の $\alpha\in\mathbb{Z}_p$, $x\in M$ に対して, $$ \alpha\otimes x = \frac{l^s\alpha}{l^s}\otimes x = \frac{\alpha}{l^s}\otimes l^sx = \frac{\alpha}{l^s}\otimes 0 = 0. $$

$l=p$ のとき, $\mathbb{Z}_{\geq 0}=\{n\in\mathbb{Z}\mid n\geq 0\}$ とし, 各 $\displaystyle\alpha=(\alpha_n\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0})\in\varprojlim_{n}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_p$ と各 $x\in M$ に対して, $$ \alpha x = a_sx,\quad \lvert M\rvert = p^s,\quad \alpha_s = a_s + p^s\mathbb{Z},\quad a_s\in\mathbb{Z} $$ によってスカラー倍を定めることにより, $M$ は $\mathbb{Z}_p$ 加群になる.

実際, まず, $\alpha_s = a_s + p^s\mathbb{Z} = a'_s + p^s\mathbb{Z}$ のとき, $a_s-a'_s\in p^s\mathbb{Z}$ であり, $p^sM=0$ だから, 任意の $x\in M$ に対して, $$ a_sx - a'_sx = (a_s-a'_s)x = 0. $$ ゆえに, $$ \alpha x = a_sx = a'_sx $$ となり, スカラー倍は well-defined である. 次に, $1_{\mathbb{Z}_p}$, $1_{\mathbb{Z}}$ をそれぞれ $\mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Z}$ の単位元とすると, 任意の $x\in M$ に対して, $$ 1_{\mathbb{Z}_p}\cdot x = 1_{\mathbb{Z}}\cdot x = x. $$ さらに, 任意の $\alpha$, $\displaystyle\beta\in\varprojlim_{n}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_p$, $x$, $y\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ \alpha = (a_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}), \quad \beta = (b_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}) $$ とおくと, $$ \alpha+\beta = ((a_n+b_n)+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}), \quad \alpha\beta = (a_nb_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}) $$ であり, \begin{align*} &(\alpha\beta)x = a_sb_sx = \alpha(b_sx) = \alpha(\beta x), \\ &(\alpha+\beta)x = (a_s+b_s)x = a_sx+b_sx = \alpha x + \beta x, \\ &\alpha(x+y) = a_s(x+y) = a_sx + a_sy = \alpha x + \alpha y. \end{align*} したがって, $M$ は $\mathbb{Z}_p$ 加群をなす.

スカラー倍の写像 $$ \mathbb{Z}_p\times M \rightarrow M,\quad (\alpha, x)\mapsto \alpha x $$ は $\mathbb{Z}$ 上双線型なので, テンソル積の普遍性から, $\mathbb{Z}$ 準同型 $$ f:\mathbb{Z}_p\otimes_{\mathbb{Z}} M\rightarrow M,\quad \alpha\otimes x \mapsto \alpha x $$ が定まる.

一方, 写像 $$ g:M\rightarrow \mathbb{Z}_p\otimes_{\mathbb{Z}} M,\quad x\mapsto 1\otimes x $$ は $\mathbb{Z}$ 準同型であり, 任意の $x\in M$ に対して, $$ f\circ g(x) = f(1\otimes x) = 1\cdot x = x. $$ 逆に, $$ g\circ f(\alpha\otimes x) = g(\alpha x) = 1\otimes \alpha x = 1\otimes a_sx = a_s\otimes x. $$ また, $\alpha-a_s\in p^s\mathbb{Z}_p$ より, $$ (\alpha-a_s)\otimes x =\frac{p^s(\alpha-a_s)}{p^s}\otimes x =\frac{\alpha-a_s}{p^s}\otimes p^sx =\frac{\alpha-a_s}{p^s}\otimes 0 =0 $$ だから, $$ a_s\otimes x = a_s\otimes x + (\alpha-a_s)\otimes x = \alpha\otimes x. $$ ゆえに, $g\circ f(\alpha\otimes x)=\alpha\otimes x$ となり, $g\circ f$, $f\circ g$ はともに恒等写像である. したがって, $f$ は全単射である.

以上より, $f$ が $\mathbb{Z}$ 上の同型であることが示された.

最終更新日：2011年11月02日