解答例 1

写像 $$ R[X]\times R[Y] \rightarrow R[X,Y], \quad (f(X),g(Y))\mapsto f(X)g(X) $$ は $R$ 上双線型なので, テンソル積の普遍性により, $R$ 準同型 $$ \varphi: R[X]\otimes_{R} R[Y] \rightarrow R[X,Y], \quad f(X)\otimes g(Y)\mapsto f(X)g(X) $$ が存在する. 一方, $R$ 準同型 $$ \psi: R[X,Y] \rightarrow R[X]\otimes_{R} R[Y], \quad \sum_{i,j}a_{ij}X^iY^j \mapsto \sum_{i,j}a_{ij}X^i\otimes Y^j $$ を考えると, $\psi\circ\varphi$, $\varphi\circ\psi$ はともに恒等写像である. したがって, $\varphi$ は同型である.

最終更新日：2011年11月02日