解答例 1

(i) 三角不等式により, $$ \lvert z\rvert=\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z+\mathop{\mathrm{Im}} z\,\sqrt{-1}\rvert\leq \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\,\sqrt{-1}\rvert =\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert. $$ 等号は $(\overline{\mathop{\mathrm{Re}} z}\cdot\mathop{\mathrm{Im}} z)\sqrt{-1}$ が負でない実数のとき.

(ii) \begin{align*} &(\sqrt{2}\,\lvert z\rvert)^2-(\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert)^2 \\ &\qquad = 2(\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2) -(\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2 +2\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert\cdot\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert) \\ &\qquad = \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2 -2\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert\cdot\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert \\ &\qquad = (\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert-\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert)^2\geq 0. \end{align*} $\sqrt{2}\,\lvert z\rvert\geq 0$, $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert\geq 0$ であるから, (ii) の不等式が成り立つ.

等号は $(\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert-\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert)^2=0$ のとき.

最終更新日：2011年11月02日