解答例 1

\begin{align*} \lvert z+w\rvert^2 &= (z+w)(\overline{z+w}) = (z+w)(\overline{z}+\overline{w}) \\ &= z\overline{z}+\overline{\overline{z}w}+\overline{z}w+w\overline{w} \\ &= \lvert z\rvert^2+2\mathop{\mathrm{Re}}(\overline{z}w)+\lvert w\rvert^2. \end{align*} また, \begin{align*} (\lvert z\rvert+\lvert w\rvert)^2 &= \lvert z\rvert^2+2\lvert z\rvert\lvert w\rvert+\lvert w\rvert^2 \\ &= \lvert z\rvert+2\lvert \overline{z}w\rvert+\lvert w\rvert^2. \end{align*} $\mathop{\mathrm{Re}}(\overline{z}w)\leq \lvert\overline{z}w\rvert$ であるから, \begin{equation} (\lvert z\rvert+\lvert w\rvert)^2 -\lvert z+w\rvert^2 = 2\bigl(\lvert\overline{z}w\rvert - \mathop{\mathrm{Re}}(\overline{z}w)\bigr) \geq 0. \tag{1} \end{equation} $\lvert z\rvert+\lvert w\rvert\geq 0$, $\lvert z+w\rvert\geq 0$ であるから, ($*$) が成り立つ.

不等式 ($*$) における等号成立条件は, (1) において等号が成り立つこと, したがって $\mathop{\mathrm{Re}}(\overline{z}w)=\lvert\overline{z}w\rvert$ であり, これは $\overline{z}w$ が負でない実数であることと同値である.

最終更新日：2011年11月02日