$z$ を複素数とするとき, 以下の不等式を証明せよ.
(i) $\mathop{\mathrm{Re}} z\leq \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert$. 等号は $\mathop{\mathrm{Re}} z\geq 0$ のとき.
(ii) $\mathop{\mathrm{Im}} z\leq \lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert$. 等号は $\mathop{\mathrm{Im}} z\geq 0$ のとき.
(iii) $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が実数のとき.
(iv) $\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が $0$ または純虚数とき.
(v) $\mathop{\mathrm{Re}} z\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が負でない実数のとき.
(vi) $\mathop{\mathrm{Im}} z\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が $0$ であるか, または $\mathop{\mathrm{Im}} z>0$ なる純虚数のとき.
ここで, $\mathop{\mathrm{Re}} z$, $\mathop{\mathrm{Im}} z$ をそれぞれ $z$ の実部, 虚部とする.
解答例 1
(i) $\mathop{\mathrm{Re}} z$ が実数であることから明らか.
(ii) $\mathop{\mathrm{Im}} z$ が実数であることから明らか.
(iii) $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2\leq \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2=\lvert z\rvert^2$. 等号は $\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2=0$ のとき.
(iv) $\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2\leq \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert^2=\lvert z\rvert^2$. 等号は $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert^2=0$ のとき.
(v) (i) と (iii) を合わせればよい.
(vi) (ii) と (iv) を合わせればよい.
最終更新日：2011年11月02日