$R$ を環, $M$, $N$ を左 $R$ 加群とする. このとき, $$ M\cong N \Longrightarrow \mathrm{Ann}(M) = \mathrm{Ann}(N) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\varphi:M\rightarrow N$ を $R$ 同型写像とし, $\varphi^{-1}:N\rightarrow M$ を $\varphi$ の逆写像とする. $a\in \mathrm{Ann}(M)$ とする. 任意の $y\in N$ に対して, $$ ay = a\cdot\varphi\bigl(\varphi^{-1}(y)\bigr) = \varphi\bigl(a\cdot \varphi^{-1}(y)\bigr) = \varphi(0) = 0. $$ ゆえに, $a\in\mathrm{Ann}(N)$. したがって, $\mathrm{Ann}(M)\subseteq\mathrm{Ann}(N)$. 逆の包含関係も同様にして示せる.
最終更新日：2011年11月02日