解答例 1

$\pi:R\rightarrow R/I$ を標準的な全射準同型とすると, $$ L_{1}\subseteq L_{2} \Longrightarrow \pi(L_{1})\subseteq\pi(L_{2}) \Longrightarrow L_{1}/I\subseteq L_{2}/I. $$ また, $I$ を含む $R$ の任意の左イデアル $L$ に対して, $L\subseteq \pi^{-1}(\pi(L))$ は明らかである. 一方, \begin{align*} x\in \pi^{-1}(\pi(L)) &\Longrightarrow \pi(x)\in \pi(L) \\ &\Longrightarrow \pi(x)=\pi(a)\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow \pi(x-a)=\pi(x)-\pi(a)=0'\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow x-a\in \ker{\pi} = I\subseteq L\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow x\in L \end{align*} であるから, $\pi^{-1}(\pi(L))\subseteq L$. よって, $$ \pi^{-1}(L/I) = \pi^{-1}(\pi(L)) = L. $$ ゆえに, \begin{align*} L_{1}/I\subseteq L_{2}/I &\Longrightarrow \pi^{-1}(L_{1}/I)\subseteq\pi^{-1}(L_{2}/I) \\ &\Longrightarrow L_{1}\subseteq L_{2}. \end{align*} 最後に, \begin{align*} L_{1}/I = L_{2}/I & \Longrightarrow \mbox{$L_{1}/I\subseteq L_{2}/I$ かつ $L_{2}/I\subseteq L_{1}/I$} \\ & \Longrightarrow \mbox{$L_{1}\subseteq L_{2}$ かつ $L_{2}\subseteq L_{1}$} \\ & \Longrightarrow L_{1} = L_{2}. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日