$R$ を環, $M_{n}(R)$ を $R$ 上の $n$ 次全行列環, $I$ を $R$ の左イデアルとする. このとき, $I$ の元を成分とする $n$ 次正方行列の全体 $M_{n}(I)$ は $M_{n}(R)$ の左イデアルになることを確かめよ.
解答例 1
任意の $X$, $Y\in M_{n}(I)$, $A\in M_{n}(R)$ に対して, $X=[x_{ij}]$, $Y=[y_{ij}]$, $A=[a_{ij}]$ とおくと, \begin{align*} X+Y &= [x_{ij}+y_{ij}] \in M_{n}(I), \\ AX &= \left[ \sum_{k=1}^{n}a_{ik}x_{kj} \right] \in M_{n}(I). \end{align*} ゆえに, $M_{n}(I)$ は $M_{n}(R)$ の左イデアルである.
最終更新日：2011年11月02日