解答例 1

$\pi:R\rightarrow R/I$ を標準的な全射準同型, $\Omega$ を$R$ の左イデアルで $I$ を含むもの全体からなる集合族, $\Omega'$ を $R/I$ の左イデアル全体からなる集合族とする. このとき, 写像 $$ \Phi:\Omega\longrightarrow \Omega',\quad L\longmapsto \pi(L) $$ は全単射であり, その逆写像は $$ \Psi:\Omega'\longrightarrow \Omega,\quad L'\longmapsto \pi^{-1}(L) $$ である. さて, $\displaystyle\bigcap_{L\in\mathcal{L}}L\in\Omega$ であるから, \begin{align*} \Psi\left(\left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}L\right)/I\right) &= \pi^{-1}\left(\left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}L\right)/I\right) \\ &= \bigcap_{L\in\mathcal{L}}L = \bigcap_{L\in\mathcal{L}}\pi^{-1}(L/I) \\ &= \pi^{-1}\left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}(L/I)\right) \\ &= \Psi\left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}(L/I)\right). \end{align*} ゆえに, $$ \Phi\circ\Psi\left(\left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}L\right)/I\right) =\Phi\circ\Psi\left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}(L/I)\right). $$ $\Phi\circ\Psi$ が $\Omega'$ 上の恒等写像であることから, 求める等式が得られる.

最終更新日：2011年11月02日