$R$ を環, $M_{n}(R)$ を $n$ 次全行列環, $\mathfrak{J}$ を $M_{n}(R)$ の左イデアルとする. 各 $k$, $l$ ($k=1$, $2$, $\ldots$, $n$; $l=1$, $2$, $\ldots$, $n$) に対して, $$ I_{kl} = \{ a_{kl} \mid [a_{ij}]\in\mathfrak{J} \} $$ とおくと, $I_{kl}$ は $R$ の左イデアルになる. このことを確認せよ.
解答例 1
$x$, $y\in I_{kl}$, $r\in R$ とする. $x$, $y$ に対して, ある $[a_{ij}]$, $[b_{ij}]\in\mathfrak{J}$ が存在して, $x=a_{kl}$, $y=b_{kl}$ となる. $E$ を単位行列とすると, \begin{align*} [a_{ij}+b_{ij}] &= [a_{ij}] + [b_{ij}] \in\mathfrak{J}, \\ [ra_{ij}] &= rE\cdot [a_{ij}] \in\mathfrak{J} \end{align*} であるから, $x+y$, $rx\in I_{kl}$ となる. したがって, $I_{kl}$ は $R$ の左イデアルである.
最終更新日：2011年11月02日