$a\geq 2$ を整数とするとき, 合同式 $$ (a-1)! \equiv -1\pmod{a} $$ が成り立てば, $a$ は素数であることを証明せよ.
解答例 1
対偶を証明する. $a$ が合成数であると仮定する. そのとき, ある整数 $b$, $c$ が存在して, $$ a = bc,\quad 1<b<a,\quad 1<c<a $$ と表される. $2\leq b\leq a-1$ より, $b$ は $(a-1)!$ の約数であり, 同時に $(a-1)!+1$ の約数にはなりえない. ゆえに, $b$ の倍数である $a$ もまた $(a-1)!+1$ の約数ではない. したがって, 与えられた合同式は成り立たない.
最終更新日：2011年11月02日