[q201109140900]  任意の正の整数 $n$ に対して, 連続する $n$ 個の合成数が存在することを証明せよ.

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[q201102060900]  $a$, $a'$, $b$, $b'$ を整数, $m$ を正の整数とし, $$ a\equiv a'\pmod{m},\quad b\equiv b'\pmod{m} $$ がともに成り立つとする. このとき, \begin{align*} a+b & \equiv a'+b' \pmod{m}, \\ a-b & \equiv a'-b' \pmod{m}, \\ ab & \equiv a'b'\pmod{m} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201102061000]  $a$, $b$, $c$ を整数, $m$ を正の整数とし, $$ ca\equiv cb\pmod{m} $$ が成り立つとする. また, $d = \gcd(c,\,m)$ とおく. このとき, $$ a\equiv b\pmod{\frac{m}{d}} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102061100]  $m$ を正の整数, $c$ を整数とし, $\gcd(c,\,m)=1$ であるとする. また, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{m}$ を 法 $m$ に関する完全剰余系とする. このとき, $ca_{1}$, $ca_{2}$, $\ldots$, $ca_{m}$ もまた法 $m$ に関する完全剰余系であることを証明せよ.

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[q201102061200]  $m$ を正の整数, $a$, $b$ を整数とし, $\gcd(a,\,m)=1$ であるとする. このとき, 合同式 \begin{equation} ax\equiv b\pmod{m} \tag{$*$} \end{equation} は $m$ を法としてただ1つの整数解をもつことを証明せよ.

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