解答例 1

$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$ とおくと, $$ dx = -dt,\quad \sin x = \sin\biggl(\frac{\pi}{2}-t\biggr)=\cos t. $$ $x$ が $0$ から $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ までを動くとき, $t$ は $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ から $0$ までを動く. よって, \begin{equation*} \begin{split} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx \,dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \cos^n t\,(-dt) \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n t\,dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx. \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日