解答例 1

部分積分法を用いて計算すると, \begin{equation*} \begin{split} \int_{a}^b (x-a)(x-b) \,dx &= \int_{a}^b (x-a)\biggl(\frac{1}{2}(x-b)^2 \biggr)' \,dx \\ &= \biggl[ \frac{1}{2}(x-a)(x-b)^2 \biggr]_a^b - \int\frac{1}{2}(x-b)^2\,dx \\ &= 0 - \biggl[ \frac{1}{6}(x-b)^3 \biggr]_a^b \\ &= \frac{1}{6}(a-b)^3. \end{split} \end{equation*}

解答例 2

\begin{equation*} \begin{split} (x-a)(x-b) &=(x-a)\bigl((x-a)+(a-b)\bigr) \\ &= (x-a)^2+(a-b)(x-a) \end{split} \end{equation*} より, \begin{equation*} \begin{split} \int_{a}^b (x-a)(x-b) \,dx &=\int_{a}^b (x-a)^2 \,dx+(a-b)\int_{a}^b (x-a) \,dx \\ &=\biggl[\frac{1}{3}(x-a)^3\biggr]_a^b +(a-b)\biggl[\frac{1}{2}(x-a)^2 \biggr]_a^b \\ &= \frac{1}{3}(b-a)^3 + (a-b)\cdot\frac{1}{2}(b-a)^2 \\ &= -\frac{1}{3}(a-b)^3 + \frac{1}{2}(a-b)^3 \\ &= \frac{1}{6}(a-b)^3. \end{split} \end{equation*}

解答例 3

\begin{equation*} \begin{split} \int_{a}^b (x-a)(x-b) \,dx &= \int_{a}^b (x^2-(a+b)x+ab) \,dx \\ &= \biggl[ \frac{1}{3}x^3-\frac{a+b}{2}x^2+ab x \biggr]_{a}^{b} \\ &= \frac{1}{3}b^3-\frac{a+b}{2}b^2+ab^2 - \frac{1}{3}a^3+\frac{a+b}{2}a^2-a^2b \\ &= \frac{1}{3}(b-a)(b^2+ba+a^2) - \frac{1}{2}(a+b)^2(b-a)+ab(b-a) \\ &= \frac{1}{6}(b-a)\bigl( 2(b^2+ba+a^2) - 3(a+b)^2 + 6ab \bigr) \\ &= \frac{1}{6}(b-a)(-a^2+2ab-b^2) \\ &= \frac{1}{6}(a-b)(a^2-2ab+b^2) \\ &= \frac{1}{6}(a-b)^3. \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日