解答例 1

$x=a\sin\theta$ とおくと, $dx=a\cos\theta d\theta$ である. $x$ が $0$ から $a$ までを動くとき, $\theta$ は $0$ から $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ までを動く. また, $\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta\geq 0$ である. よって, \begin{equation*} \begin{split} \int_{0}^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2-(a\sin\theta)^2}\cdot a\cos\theta\,d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}\cdot a\cos\theta\,d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2\cos^2\theta}\cdot a\cos\theta\,d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2\theta\,d\theta \\ &= a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta \\ &= \frac{a^2}{2}\biggl[ \theta+\frac{\sin 2\theta}{2} \biggr]_{0}^{\!\frac{\pi}{2}} \\ &=\frac{\pi}{4}a^2. \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日