解答例 1

($\Rightarrow$) $\gcd(a,\,b)=\gcd(a,\,c)=1$ を仮定して $\gcd(a,\,bc)=1$ を証明する. $d=\gcd(a,\,bc)$ とおくと, $d\mid a$ かつ $d\mid bc$. もし仮に $\gcd(d,\,b)>1$ ならば, $d\mid a$ より $\gcd(a,\,b)>1$ となる. これは $\gcd(a,\,b)=1$ という仮定に反する. よって, $\gcd(d,\,b)=1$. これと $d\mid bc$ より, $d\mid c$. ところが, $d\mid a$ より $d$ は $a$, $c$ の公約数である. 仮定より $\gcd(a,\,c)=1$ であったから, $d=1$ でなければならない.

($\Leftarrow$) $\gcd(a,\,b)>1$ ならば $\gcd(a,\,bc)>1$ となることは明らかである. $\gcd(a,\,c)>1$ ならば $\gcd(a,\,bc)>1$となることも同様に明らかである. よって, $$ \mbox{$\gcd(a,\,b)>1$ または $\gcd(a,\,c)>1$} \Longrightarrow \gcd(a,\,bc)>1. $$ 対偶をとれば, $$ \gcd(a,\,bc)=1 \Longrightarrow \gcd(a,\,b)=\gcd(a,\,c)=1. $$

最終更新日：2011年11月02日