$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. $S$ を $M$ の空でない部分集合, $I$ を $R$ の左イデアルとし, $$ IS = \left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \Biggm| a_i\in I,\,x_i\in S,\,n=1,2,\ldots \right\} $$ とおく. このとき, $IS$ は $M$ の部分左 $R$ 加群になることを証明せよ.
解答例 1
$R$ の零元を $0_{R}$ と書き, $M$ の零元を $0_{M}$ と書くことにする. $S$ は空でないから, ある $S$ の元 $s$ が存在する. $0_{M} = 0_{R}\cdot s\in IS$ であるから, $IS\neq\emptyset$.
$x$, $y\in IS$, $r\in R$ とする. $x$, $y\in IS$ より, \begin{alignat*}{3} x &= \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i},&\quad & a_{i}\in I,&\quad & x_{i}\in S, \\ y &= \sum_{j=1}^{m}b_{j}y_{j},&\quad & b_{j}\in I,&\quad & y_{j}\in S \end{alignat*} と表されるから, \begin{align*} x - y &= \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} - \sum_{j=1}^{m}b_{j}y_{j} = \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} + \sum_{j=1}^{m}(-b_{j})y_{j} \in IS, \\ rx &= r \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{n}(ra_{i})x_{i} \in IS. \end{align*} よって, $x-y$, $rx\in IS$.
最終更新日：2011年11月02日