Keywords: 生成される部分加群
$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $S$ を $M$ の空でない部分集合とする. また, $\Gamma$ を $M$ の部分左 $R$ 加群で $S$ を含むもの全体とする. さらに, $$ \langle S\rangle = RS = \left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \Biggm| a_{i}\in R,\,x_{i}\in S,\,n=1,2,\ldots \right\} $$ とおく. このとき, $$ \langle S\rangle = \bigcap_{L\in\Gamma}L $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$L\in\Gamma$ とする. $L$ は $S$ を含む $M$ の部分左 $R$ 加群であるから, $\langle S\rangle$ のすべての元を含む. すなわち, $\langle S\rangle\subseteq L$ である. $L$ は任意であるから, $\displaystyle \langle S\rangle\subseteq\bigcap_{L\in\Gamma}L$. 逆に, $\langle S\rangle$ は $M$ の部分左 $R$ 加群であり, $1\in R$ より $\langle S\rangle$ は $S$ を含む. よって, $\langle S\rangle\in\Gamma$. ゆえに, $\displaystyle\bigcap_{L\in\Gamma}L\subseteq \langle S\rangle$. したがって, $\displaystyle \langle S\rangle=\bigcap_{L\in\Gamma}L$.
最終更新日：2011年11月02日