$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる集合系とする. このとき, $\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}$ は $M$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.
解答例 1
$\displaystyle L=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}$ とおく. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $0\in L_{\lambda}$. よって, $0\in L$. 特に, $L\neq\emptyset$ である.
$x$, $y\in L$, $r\in R$ とする. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, \begin{align*} &x,\,y\in L_{\lambda} \Longrightarrow x-y\in L_{\lambda}, \\ &x\in L_{\lambda},\,r\in R \Longrightarrow rx\in L_{\lambda}. \end{align*} ゆえに, $x-y$, $rx\in L$. したがって, $L$ は $M$ の部分左 $R$ 加群である.
最終更新日：2011年11月02日