$m$ を正の整数, $a$, $b$ を整数とし, $\gcd(a,\,m)=1$ であるとする. このとき, 合同式 \begin{equation} ax\equiv b\pmod{m} \tag{$*$} \end{equation} は $m$ を法としてただ1つの整数解をもつことを証明せよ.
解答例 1
$\gcd(a,\,m)=1$ より, ある $x_{0}$, $y_{0}\in\mathbb{Z}$ が存在して, $$ ax_{0}+my_{0} = b. $$ よって, $$ ax_{0}\equiv b\pmod{m} $$ となり, 合同式 ($*$) は整数解 $x_{0}$ をもつ. さらに, 合同式 ($*$) の任意の解 $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ ax\equiv ax_{0}\pmod{m}. $$ $\gcd(a,\,m)=1$ であるから, $$ x\equiv x_{0}\pmod{m}. $$ したがって, 合同式 ($*$) の整数解は $m$ を法としてただ1つである.
最終更新日：2011年11月02日