Keywords: Cantor の区間縮小法の原理
$\mathbb{R}$ の閉区間の列 $([a_n, b_n])$ が, 次の条件を満たすとする. \begin{equation} \begin{split} & [a_{n}, b_{n}]\supseteq [a_{n+1}, b_{n+1}]\quad (n=1, 2, \ldots), \\ & \lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n}) = 0. \end{split} \tag{$*$} \end{equation} このとき, 各閉区間 $[a_n, b_n]$ に共通に含まれる実数 $\alpha$ がただ1つ存在し, $$ \alpha = \lim_{n\to\infty}{a_n} = \lim_{n\to\infty}{b_n} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
($*$) の1番目の条件より, 数列 $(a_n)$, $(b_n)$ は収束し, それらの極限値をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とすれば, $$ \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n] = [\alpha, \beta] $$ が成り立つ. さらに, ($*$) の2番目の条件より, $$ \alpha - \beta = \lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n}) = 0. $$ ゆえに, $\alpha=\beta$ となり, $$ \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n] = \{\alpha\} $$ となる.
最終更新日：2011年11月02日