解答例 1

実数 $a$ に対し, $x_n=1/(a+2n\pi)$ によって数列 $(x_n)$ を定めると, $x_n\to 0$ $(n\to\infty)$ である.

ところが, $a=0$ のとき, $$ \sin\frac{1}{x_n} = \sin(2n\pi) = 0 $$ であるから, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{x_n} = 0$. また, $a=\pi/2$ のとき, $$ \sin\frac{1}{x_n} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1 $$ であるから, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{x_n} = 1$.

ゆえに, $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ は存在しない.

最終更新日：2011年11月02日