解答例 1

$r=0$ のとき, $\displaystyle\binom{p-1}{0}=1$ より明らかである.

$1\leq r\leq p-1$ のとき, $r$ 個の合同式 \begin{align*} p-1 &\equiv -1\pmod{p}, \\ p-2 &\equiv -2\pmod{p}, \\ & \cdots\cdots \\ p-r &\equiv -r\pmod{p} \end{align*} を辺々掛け合わせれば, $$ (p-1)(p-2)\cdots (p-r) \equiv (-1)(-2)\cdots (-r) \pmod{p}. $$ すなわち, $$ \binom{p-1}{r}r!\equiv (-1)^{r}r!\pmod{p}. $$ $r!$ は $p$ と互いに素であるから, 両辺を $r!$ で割ることができて, $$ \binom{p-1}{r}\equiv (-1)^{r}\pmod{p} $$ が得られる.

解答例 2

$p$ 個の元からなる有限体 $\mathbb{F}_{p}$ 上の有理関数体 $\mathbb{F}_{p}(X)$ において, \begin{align*} (1-X)^{p-1} &= \frac{(1-X)^{p}}{1-X} = \frac{1-X^{p}}{1-X} \\ &= 1+X+X^{2}+\cdots+X^{p-1}. \end{align*} 一方, 二項定理より, \begin{align*} (1-X)^{p-1} &= \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p-1}{k}(-X)^{k} \\ &= \sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\binom{p-1}{k}X^{k}. \end{align*} ゆえに, $$ \sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\binom{p-1}{k}X^{k} = 1+X+X^{2}+\cdots+X^{p-1}. $$ $X^{r}$ の項を比較すると, $$ (-1)^{r}\binom{p-1}{r} \equiv 1\pmod{p}. $$ 両辺に $(-1)^{r}$ を掛けると, $$ \binom{p-1}{r} \equiv (-1)^{r}\pmod{p}. $$

最終更新日：2011年11月02日