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[q201109130900] $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B), \\ B \times \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\times A_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
[q201109131000] $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, \begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B), \\ B\times\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\times A_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
[q201109131100] $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を集合系とするとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times \left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcup_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}) \\ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times \left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcap_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
[q201109121000] $X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $(A_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $X$ の部分集合系とする. このとき, $$ f\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.
[q201109121100] $X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $(A_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $X$ の部分集合系とする. このとき, $$ f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) \subseteq \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.