$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, \begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B), \\ B\times\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\times A_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
1番目の等式のみ証明する. 2番目の等式も同様にして証明できる.
任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subseteq A_{\lambda} $$ であるから, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B \subseteq A_{\lambda}\times B. $$ したがって, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B \subseteq \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B). $$
逆に, $\displaystyle (x, y)\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B)$ とする. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $(x, y)\in A_{\lambda}\times B$ であるから, $x\in A_{\lambda}$. ゆえに, $\displaystyle x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$. したがって, $\displaystyle (x, y)\in \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B$. よって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日